Matemática básica Ejemplos

$1 + \frac{1}{2^{n}} = \frac{5}{5120}$

Paso 1

Cancela el factor común de $5$ y $5120$ .

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Paso 1.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$1 + \frac{1}{2^{n}} = \frac{5 (1)}{5120}$

Paso 1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.1

Factoriza $5$ de $5120$ .

$1 + \frac{1}{2^{n}} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 1024}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$1 + \frac{1}{2^{n}} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 1024}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{1024}$

Paso 2

Mueve todos los términos que no contengan $n$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{1024} - 1$

Paso 2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{1024} - 1 \cdot \frac{1024}{1024}$

Paso 2.3

Combina $- 1$ y $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{1024} + \frac{- 1 \cdot 1024}{1024}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2^{n}} = \frac{1 - 1 \cdot 1024}{1024}$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 1$ por $1024$ .

$\frac{1}{2^{n}} = \frac{1 - 1024}{1024}$

Paso 2.5.2

Resta $1024$ de $1$ .

$\frac{1}{2^{n}} = \frac{- 1023}{1024}$

Paso 2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2^{n}} = - \frac{1023}{1024}$

Paso 3

Multiplica ambos lados por $2^{n}$ .

$\frac{1}{2^{n}} \cdot 2^{n} = - \frac{1023}{1024} \cdot 2^{n}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $2^{n}$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2^{n}} \cdot 2^{n} = - \frac{1023}{1024} \cdot 2^{n}$

Paso 4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = - \frac{1023}{1024} \cdot 2^{n}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- \frac{1023}{1024} \cdot 2^{n}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina $2^{n}$ y $\frac{1023}{1024}$ .

$1 = - \frac{2^{n} \cdot 1023}{1024}$

Paso 4.2.1.2

Mueve $1023$ a la izquierda de $2^{n}$ .

$1 = - \frac{1023 \cdot 2^{n}}{1024}$

Paso 5

Resuelve $n$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1023 \cdot 2^{n}}{1024} = 1$ .

$- \frac{1023 \cdot 2^{n}}{1024} = 1$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{1024}{1023}$ .

$- \frac{1024}{1023} (- \frac{1023 \cdot 2^{n}}{1024}) = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Paso 5.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Simplifica $- \frac{1024}{1023} (- \frac{1023 \cdot 2^{n}}{1024})$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común de $1024$ .

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Paso 5.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1024}{1023}$ al numerador.

$\frac{- 1024}{1023} (- \frac{1023 \cdot 2^{n}}{1024}) = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Paso 5.3.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1023 \cdot 2^{n}}{1024}$ al numerador.

$\frac{- 1024}{1023} \cdot \frac{- 1023 \cdot 2^{n}}{1024} = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Paso 5.3.1.1.1.3

Factoriza $1024$ de $- 1024$ .

$\frac{1024 (- 1)}{1023} \cdot \frac{- 1023 \cdot 2^{n}}{1024} = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Paso 5.3.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{1024 \cdot - 1}{1023} \cdot \frac{- 1023 \cdot 2^{n}}{1024} = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Paso 5.3.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1023} (- 1023 \cdot 2^{n}) = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Paso 5.3.1.1.2

Cancela el factor común de $1023$ .

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Paso 5.3.1.1.2.1

Factoriza $1023$ de $- 1023 \cdot 2^{n}$ .

$\frac{- 1}{1023} (1023 (- 2^{n})) = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Paso 5.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{1023} (1023 (- 2^{n})) = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Paso 5.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- - 2^{n} = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Paso 5.3.1.1.3

Multiplica.

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Paso 5.3.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \cdot 2^{n} = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Paso 5.3.1.1.3.2

Multiplica $2^{n}$ por $1$ .

$2^{n} = - \frac{1024}{1023} \cdot 1$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2^{n} = - \frac{1024}{1023}$

Paso 5.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{n}) = \ln (- \frac{1024}{1023})$

Paso 5.5

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- \frac{1024}{1023})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 5.6

No hay soluciones para $2^{n} = - \frac{1024}{1023}$

No hay solución